Фракталы

Теория

Что это за красивые картинки? Они называются "фракталы"?

"Cреди всех картинок, которые может создавать компьютер, лишь немногие могут поспорить с фрактальными изображениями, когда идет речь о подлинной красоте. У большинства из нас слово "фрактал" вызывает в памяти цветные завитушки, формирующие сложный, тонкий и составной узор."

Джеф Проузис.

А почему они так называются? Что за слово такое - "фрактал"? Кто и зачем придумал сей термин?

Слово "fractus" с латинского переводится как "дробный". Фракталами американский математик Бенуа Мандельброт предложил называть особые математические объекты, обладающие свойством дробности и до него не изучавшиеся. В 1977 году вышла его книга "The Fractal Geometry of Nature" - "Фрактальная геометрия природы".

И что же именно у них дробное-то?

Дробная у них - размерность. Они не трехмерны, и не двумерны, и не одномерны - их размерность выражается не целым числом, а дробью, например, 1 целая и четыре десятых, 2 целых и шесть десятых...

Это как же такое может быть?!

А в математике многое может быть, она ведь имеет дело с идеальными вещами, например исходит из бесконечной делимости всего. Математическая точка не имеет размеров, тем не менее, бесконечно много бесконечно малых точек образуют вполне конечные тела. В пределе. И вот однажды обнаружилось, что созданное по определенному рецепту тело - это что-то среднее между не имеющей толщины и площади линией и имеющим площадь куском плоскости, или же между не имеющей толщины и объема плоской фигурой и имеющим объем пространственным телом. В этих объектах стерта грань между измерениями, и тем самым показано, что казавшейся непреодолимой пропасти между ними - нет. Это первое, но отнюдь не последнее поразительное свойство фракталов.

Все это, конечно, интересно, но нельзя ли примерчик?

Пожалуйста. Коврик Серпиньского. Делается он так: середины сторон обычного треугольника соединяют отрезками - получается меньший треугольник внутри большего, и его вырезают. Затем проделывают эту же процедуру с тремя угловыми треугольниками - получается уже четыре дырки и девять треугольников. Повторяют это же и с ними и так далее до бесконечности. В результате в треугольнике не остается живого места, ни одного целого куска площади, но все же и на части он не распадается. Этакий бесконечно дырявый сыр. Можно такое же с пирамидой, с кубом проделать - получим губку Серпиньского.

Так это что получается - каждая самая маленькая часть его в свою очередь состоит из еще более мелких таких же частей?

Да, это другое основное свойство фракталов - самоподобие. Разглядывая их мысленно в увеличительное стекло, приближая, мы видим все то же строение.

Что-то это напоминает...

Да все вокруг! Дерево - это же самый настоящий фрактал. От больших веток отходят ветки поменьше, от них еще более мелкие и так далее... Вот рисунок, полученный по строго математическому правилу "почкования" - он в точности выглядит, как реальный лист папоротника!

Ну и неинтересно - что ожидали, то и получили. Сами же все в дырки превратили, или построили нечто ветвистое... А "естественным" путем такое может получиться?

Ну вот естественным путем и получаются деревья и листья. Они растут, развиваются во времени, и при этом получаются не простые, а этакие затейливые формы... Есть простая и гениальная модель такого развития, когда из простой формулы проистекают просто поразительные последствия. Это формула Мандельброта, названная по имени Бенуа Мандельброта, первого ее исследователя. Представим себе числовую последовательность, каждый следующий член который равен квадрату предыдущего члена плюс постоянное слагаемое (константа). Что ожидает нас в конце, каков предел, к чему она стремится? На числовой прямой все просто - если начинать с того, что меньше единицы, то стремится к нулю, а если с большего единицы, то к бесконечности. А если взять числовую плоскость? Комплексные то есть числа, которые суть точки на плоскости? Задачка не решается. То есть совсем не решается - аналитически никак нельзя предсказать, ни из каких законов не следует, что ждет в конце последовательности с таким-то начальным числом и с такой-то константой. Можно только взять и посчитать. Возводить в квадрат и прибавлять, возводить и прибавлять, и что-то увидим... Увидим ли хоть какую-то закономерность? Поскольку это требует чрезвычайно больших вычислительных затрат, то поставленный еще в начале XX века Гастоном Жюлиа и Пьером Фату вопрос, так и оставался без ответа. Лишь в семидесятые годы, с появлением компьютеров, возможно стало подступить к проблеме. Что и сделал Бенуа Мандельброт.

То есть если какая-то цивилизация оказалась способна изобразить множество Мандельброта, то это может свидетельствовать о ее высоком уровне развития?

Да, по крайней мере, об умении и любви к счету. Ни одна цивилизация древности не оставила изображений множества Мандельброта, значит все разговоры об их продвинутости не слишком основательны.

И что, что же получается?

Посчитали и удивились - если нанести на плоскость все точки, от которых последовательность не убегает на бесконечность (а она определенно убежит, если один из членов однажды превысит примерно число три) за какое-то приемлемое число шагов (потому что до бесконечности мы не в состоянии считать), то получается некая дьявольски сложная фигура. Эту геометрическую фигуру, т. е. множество точек, назвали множеством Мандельброта. Непонятно, как такое простое уравнение может привести к такой сложной структуре, тем не менее, это так... Открытие таких геометрических объектов стало эпохальным событием в земной науке.

Так ведь сплошная фигура! Где обещанная сложность?

Присмотритесь внимательно: фрактальными свойствами обладает ее граница. Увеличение, то есть рассмотрение более близких друг к другу точек границы, обнаруживает все новые и новые подробности строения, которое оказывается тем сложнее, чем более мелкие участки мы разглядываем.

Хм... Получается, самое интересное происходит в очень узком диапазоне возможных значений?

Да, для множества - значений чисел, для жизни - температур, давлений, для разума - информаций. Мы балансируем на узком мостике над пропастью - с одной стороны пустота одинаковости, с другой - пустота случайных чисел. С одной - полная детерминированность Лапласа, с другой - полный хаос.

Так наш мир устроен по такому принципу?

Именно! Окружающая нас реальность - она фрактальна!

«Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой.»

Бенуа Мандельброт.

«Бенуа Мандельброт создал неевклидову геометрию негладких, шероховатых, зазубренных, изъеденных ходами и отверстиями, шершавых и т. п. объектов, своего рода математических парий, по молчаливому уговору изгонявшихся из рассмотрения в пользу более благообразных усредненных, сглаженных, отполированных, спрямленных объектов. Между тем, именно «неправильные» объекты составляют подавляющее большинство объектов в природе.»

Юрий Данилов.

«Фрактал - объект, обладающий бесконечной сложностью, позволяющий рассмотреть столько же своих деталей вблизи, как и издалека. Земля - классический пример фрактального объекта. Из космоса она выглядит как шаp. Если приближаться к ней, мы обнаружим океаны, континенты, побережья и цепи гор. Будем рассматривать горы ближе - станут видны еще более мелкие детали: кусочек земли на поверхности горы в своем масштабе столь же сложный и неровный, как сама гора. И даже еще более сильное увеличение покажет крошечные частички грунта, каждая из которых сама является фрактальным объектом.»

Джеф Проузис.

Это внушает оптимизм?

Да еще какой! Если часть - вовсе не ничтожна, а равновелика целому, то человек - не пылинка, а на равных, одной весовой категории со Вселенной.

This web page is hosted free of charge through the Internet Access and Training Program (IATP). IATP is a project funded by the US Department of State, Bureau of Educational & Cultural Affairs, and implemented within the framework of the UNDP "Internet-2" project.